群基础知识
群基础知识
群
群是一个在定义运算中封闭的集合，群$G=(S,)$,$S$表示群中的元素，$$是一个定义于$S$中元素的二元运算,且具有以下性质
1.封闭性:$\forall p1,p2\in G,p1*p2\in G$
2.结合律:$p1(p2p3)=(p1p2)p3$
3.存在单位元:$pe=ep=p$
4.存在逆元:$p1p2=p2p1=e$,$p1,p2$互为逆元,且逆元唯一
特别的，如果G中元素满足交换律，则称其为一个阿贝尔群
群阶:$\mid G\mid=\mid S\mid$,集合中元素个数
对于运算$p1*p2$,可简写为$p1p2$，$p^k$等价于$\Pi_{i=1}^kp$
对于运算$p1p2=p1p3$,存在$p2=p3$
运算$(p1p2)^{-1}$等于$p1^{-1}p2^{-1}$
子群
集合H是G的子集，若H关于$*$封闭，则H称为G的子群
子群存在与全集相同的逆元和单位元
陪集
对于G,它的子群H的左陪集aH定义为$ \{ \{ah\mid h\in S\}\}$,右陪集同理
陪集还是一个类似的集合，比如$(R,+)$的子群$(Z,+)$,在R中找一个数，比如2，对Z中每一个数+2后形成的新集合，就称为2确定的$(R,+)$中整数子群的左陪集
现在讨论右陪集的性质，左陪集同理
这个性质说明可以将群G划分为一个子群互不相交的集合的并，并可以由此推导出拉格朗日定理
$\mid G\mid=\mid G:H\mid *\mid H\mid$,其中$G:H$表示G的子群H的不同右陪集个数
即一个群的子群的个数整除该群的阶数
置换
就是在两个由1到n的集合中的满射，用
$A=$
$(a1,a2……an)$
$(b1,b2……bn)$
来表示，$a_i->b_i$,每个元素之间存在映射关系
一个置换可用循环来简写，$(a_1,a_2……a_n)$等价于
$(a_1,a_2……a_n)$
$(a_2……a_n,a_1)$
任何一个置换都可用若干循环的乘积来表示
可以把一个置换分解为从各个点迭代映射到的所有点的集合的乘积
每个这样的乘积称为换位(二阶循环也可称为对换)，两个不相交的换位满足交换律
并且任意置换也可写作若干个对换的积
这样的分解并不唯一，但是他们的奇偶性唯一(指分解为对换)