OI狄利克雷卷积

一些狄利克雷卷积性质的证明

1.$\phi * I=id​$

可以表示成$n=\Sigma_{d\mid n}\phi(d)$

对于证明这类的式子，一般有以下个步骤

1.证明$f(1)$

2.证明$f(p)$

3.证明$f(p^k)$

4.证明$f(p_1^{k1}*p_2^{k2})​$

5.证明普遍性

以欧拉函数的这一性质为例

1.$\phi(1)=1​$,直接由定义得出

2.$\phi(1)=1,\phi(p)=p-1,\phi(1)+phi(p)=p​$

3.$\Sigma^k_{i=0}\phi(p^i)=1+\Sigma^k_{i=1}\phi(p^i)=1+\Sigma^k_{i=1}p^{i-1}(p-1)=1+(p-1)(p^k-1)/(p-1)=p^k​$

4.$p_1^{k1}p_2^{k2}=\Sigma_{d1\mid p1^{k1}}\phi(d1)\Sigma_{d2\mid p2^{k2}}\phi(d2)=\Sigma_{d\mid p_1^{k1}*p_2^{k2}}\phi(d)$

5.对于普遍的情况，依次拆成2个数利用性质4即可得出

即$\phi * I=id$

2.$\mu *I=\epsilon​$

这个性质并没有上面的复杂，只需要3个步骤即可证出

1.$\mu(1)=1,\epsilon(1)=1$,由定义得

2.对于一个拥有重复质因子数的数，$\mu(n)=0,\epsilon(n)=0$

3.对于$n=\Pi_{i=1}^kp_i$,含有i项质数的项数为n-i+1,由组合数的性质(二项式定理)可得，奇项数等于偶项数，$\mu(n)=0$

即$\mu *I=\epsilon$

3.$\mu *id=\phi$

由性质1，2可推出

4.在莫比乌斯反演中，有两条核心卷积式

1.$F=I*f$

2.$f=\mu *F$

2式可由1式与性质2推得，用卷积来推要比直接拆开方便理解很多